Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）．又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，，則當(dāng)-10≤x≤10，方程的根的和為________．

Answer 1

-5
分析：由已知中函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）．我們可得函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，，可得函數(shù)在-10≤x≤10時(shí)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．
解答：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
又∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）．
即函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
又由當(dāng)0≤x≤1時(shí)，，
故函數(shù)在[-10，10]上的圖象如下圖所示

由圖可得若
則x∈{-9，-5，-1，3，7}
故方程的根的和為-9+（-5）+（-1）+3+7=-5
故答案為-5
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件畫出函數(shù)在-10≤x≤10時(shí)的圖象，是解答本題的關(guān)鍵．