Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-1，2]，且函數(shù)f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$處都取得極值．
（I）求實數(shù)a與b的值；
（II）對任意x∈[-1，2]，方程f（x）=2c存在三個實數(shù)根，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x），由題意函數(shù)f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$處都取得極值．列出方程求解即可．
（2）原題等價于函數(shù)與y=f（x）與函數(shù)y=2c兩個圖象存在三個交點，求出f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），求出極值，列出不等式求解即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b…（1分）
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}f'（{-\frac{2}{3}}）=0\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$…（5分）
經(jīng)檢驗，適合條件，所以$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$…（6分）
（2）原題等價于函數(shù)與y=f（x）與函數(shù)y=2c兩個圖象存在三個交點，…（7分）
由（1）知f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），…（8分），
令（3x+2）（x-1）=0，可得x=-$\frac{2}{3}$，x=1；
x∈[-1，2]，當(dāng)x∈（-1，-$\frac{2}{3}$），x∈（1，2）時，f'（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（-$\frac{2}{3}$，1）時，函數(shù)是減函數(shù)，
函數(shù)的極大值為：f（-$\frac{2}{3}$）=c+$\frac{22}{27}$，f（2）=2+c＞c+$\frac{22}{27}$      
極小值為：f（1）=-$\frac{3}{2}$+c，f（-1）=$\frac{1}{2}+c$＞$-\frac{3}{2}+c$              …（11分）
∴x∈[-1，2]時，
可得$c+\frac{1}{2}≤2c＜c+\frac{22}{27}$，∴$\frac{1}{2}≤c＜\frac{22}{27}$…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的端點函數(shù)值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，難度比較大．