Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinx cosx+1．
（1）若x∈[0，π]時，f（x）=a有兩異根，求兩根之和；
（2）函數(shù)y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的圖象與直線y=4圍成圖形的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，確定函數(shù)圖象關(guān)于x=

3π

2

對稱，即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)對稱性可知，函數(shù)y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的圖象與直線y=4圍成圖形的面積等于一矩形的面積，長為2π，寬為4，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]，
∴函數(shù)圖象關(guān)于x=

3π

2

對稱
∵f（x）=a有兩異根，∴兩根之和為3π；
（2）∵x∈[

π

6

，

7π

6

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

5π

2

]
∴根據(jù)對稱性可知，函數(shù)y=f（x），x∈[

π

6

，

7π

6

]的圖象與直線y=4圍成圖形的面積等于一矩形的面積，長為2π，寬為4
∴所求面積為8π．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查面積的計算，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．