已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,在曲線
上是否存在兩點(diǎn)
,使得曲線在
兩點(diǎn)處的切線均與直線
交于同一點(diǎn)?若存在,求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若在區(qū)間
存在最大值
,試構(gòu)造一個函數(shù)
,使得
同時滿足以下三個條件:①定義域
,且
;②當(dāng)
時,
;③在
中使
取得最大值
時的
值,從小到大組成等差數(shù)列.(只要寫出函數(shù)
即可)
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)存在,且交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)對參數(shù)的值影響函數(shù)極值點(diǎn)的存在與否進(jìn)行分類討論,結(jié)合求解導(dǎo)數(shù)不等式求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)先將曲線在點(diǎn)
、
處的切線方程求出,并將交點(diǎn)的坐標(biāo)假設(shè)出來,利用交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩條切線方程,得到兩個不同的等式,然后利用等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)來處理;(Ⅲ)可以根據(jù)題中的條件進(jìn)行構(gòu)造,但要注意定義域等相應(yīng)問題.
試題解析:(Ⅰ)依題可得 ,
當(dāng)時,
恒成立,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
,解得
或
,
單調(diào)遞增區(qū)間為
和
.
4分
(Ⅱ)設(shè)切線與直線的公共點(diǎn)為
,當(dāng)
時,
,
則,因此以點(diǎn)
為切點(diǎn)的切線方程為
.
因為點(diǎn)在切線上,所以
,即
.
同理可得方程.
6分
設(shè),則原問題等價于函數(shù)
至少有兩個不同的零點(diǎn).
因為,
當(dāng)或
時,
,
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞減.
因此,在
處取極大值
,在
處取極小值
.
若要滿足至少有兩個不同的零點(diǎn),則需滿足
解得
.
故存在,且交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為. 10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即
. 11分
本題答案不唯一,以下幾個答案供參考:
①,其中
;
②其中
;
③其中
. 14分
考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求出使成立的
的取值范圍;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆云南省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分10分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若把向右平移
個單位得到函數(shù)
,求
在區(qū)間
上的最小值和最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試陜西文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判斷函數(shù)
的奇偶性,并說明理由.
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