已知某物體的溫度θ(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律是:θ=m•2t+21-t(t≥0,并且m>0).
(1)如果m=2,求經(jīng)過多少時間,物體的溫度為5攝氏度;
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.
分析:(1)將m=2,θ=5代入θ=m•2t+21-t(t≥0)解指數(shù)方程即可求出t的值;
(2)問題等價于m•2t+21-t≥2(t≥0)恒成立,求出m•2t+21-t的最小值,只需最小值恒大于等于2建立關(guān)系,解之即可求出m的范圍.
解答:解:(1)依題意可得5=2•2t+21-t
即2•(2t2-5•2t+2=0.
亦即(2•2t-1)(2t-2)=0,
又∵t≥0,得2t=2,
∴t=1.
故經(jīng)過1分鐘該物體的溫度為5攝氏度.
(2)問題等價于m•2t+21-t≥2(t≥0)恒成立.
∵m•2t+21-t=m•2t+2•2-t≥2
2m
,①
∴只需2
2m
≥2,
即m≥
1
2

當(dāng)且僅當(dāng)
1
2
•2t=2•2-t
即t=1時,①式等號成立,
∴m的取值范圍是[
1
2
,+∞).
點評:本題主要考查了不等式的實際應(yīng)用,以及恒成立問題,同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于中檔題.
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