Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記b_n=（n∈N*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，是否存在正整數(shù)k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有T_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，，∴，
又∵，
∴，即，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，
∴，；
（Ⅱ）不存在正整數(shù)k，使得成立；
下證：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立，
由（Ⅰ）知，

，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N*），
∴；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N*），
∴，
∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k，
∴不存在正整數(shù)k，使得成立．
（Ⅲ）由得

，
又，
∴，
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n≥2時(shí)，
。