已知雙曲線C：（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.

（Ⅰ）求a,b；

（Ⅱ）設(shè)過的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，且，證明：、、成等比數(shù)列.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知，即，故.

所以C的方程為.

將y=2代入上式，求得.

由題設(shè)知，，解得.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程為.  ①

由題意可設(shè)的方程為，，代入①并化簡得

.

設(shè)，，則

，，，.

于是

，

由得，即.

故，解得，從而.

由于，

.

故，

.

因而，所以、、成等比數(shù)列.

（1）利用待定系數(shù)法求解，利用已知條件建立含義的等量關(guān)系，進(jìn)而確定曲線方程；(2)利用直線與曲線聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理和弦長公式將、、表示出來，然后借助證明等比中項(xiàng)。

【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線方程與直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查舍而不求的思想以及計(jì)算能力.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年濰坊市六模）（12分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0），B是右頂點(diǎn)，F是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足、、成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．

　�。�1）求證：；

　�。�2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C:=1（a＞0,b＞0）,B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸，且滿足||、||、||成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.

（1）求證：·=·；

（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且||、||、||成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.

（1）求證：·=·；

（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D、E，求雙曲線離心率e的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三（上）周練數(shù)學(xué)試卷（12.22）（解析版） 題型：填空題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：（a＞0）的一條漸近線與直線l：2x-y+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a=    ．

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