Question

已知(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）寫出它的展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先求出展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)其成等差數(shù)列列出關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值．
（2）先求出展開式Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

，再根據(jù)展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)時(shí)成立即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式
系數(shù)分別是C_n⁴，C_n⁵，C_n⁶．
依題意得C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
即：

n!

4!(n-4)!

+

n!

6!(n-6)!

=2×

n!

5!(n-5)!

，…（3分）
化簡(jiǎn)得30+（n-4）（n-5）=12（n-4），即：n²-21n+98=0，
解得n=7或n=14，因?yàn)?＜n＜15所以n=14…（6分）
（2）展開式的通項(xiàng)  Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

…（10分）
展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，0≤r≤14，
所以展開式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)：r=0，T₁=C₁₄⁰x⁷=x⁷；
r=6，T₇=C₁₄⁶x⁶=3003x⁶；
r=12，T₁₃=C₁₄¹²x⁵=91x⁵…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決展開式的特定項(xiàng)問題、等差數(shù)列的定義．