Question

16．如圖1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分別為CD、AB邊上的點，且DE=3，BF=4，將△BCE沿BE折起至△PBE位置（如圖2所示），連結(jié)AP、PF，其中PF=2$\sqrt{5}$．

（1）求證：PF⊥平面ABED；
（2）求點A到平面PBE的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EF，由翻折不變性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知條件，利用勾股定理推導(dǎo)出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能夠證明PF⊥平面ABED．
（2）由PF⊥平面ABED，知PF為三棱錐P-ABE的高，利用等積法能求出點A到平面PBE的距離．

解答 解：（1）連結(jié)EF，
由翻折不變性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
所以PF⊥BF…（2分）
在圖1中，利用勾股定理，得EF=$\sqrt{{6}^{2}+（12-3-4）^{4}}$=$\sqrt{61}$，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，
∴PF為三棱錐P-ABE的高．…（8分）
設(shè)點A到平面PBE的距離為h，
由等體積法得V_A-PBE=V_P-ABE，…（10分）
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×9×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×12×6×2\sqrt{5}$
∴h=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
即點A到平面PBE的距離為$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．…（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，要注意等積法的合理運用．