已知A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144},是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)集,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,b使得(1)A∩B≠φ,(2)(a,b)∈C同時(shí)成立.
解法一:假設(shè)在a,b使得(1)成立,則集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z}與集合B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z},相對(duì)應(yīng)的方程y=ax+b與y=3x2+15至少要有公共點(diǎn),即方程組有公共解,所以方程3x2+15=ax+b必有解.因此,△=a2-12(15-b)≥0即-a2≤12b-180 、 又∵(a,b)∈C,∴a2+b2≤144 ② 、佗谙嗉拥胋2≤12b-36即(b-6)2≤0,∴b=6. 將b=6代入①得a2≥108;再將b=6代入②得a2≤108,因此a2=108, ∴a=±6.再將a=±6,b=6代入原方程得:3x2±6x+9=0, 解得x=±Z.所以不存在實(shí)數(shù)a,b,使①,②同時(shí)成立. 解法2:由A∩B≠φ,表示存在正整數(shù)n,使得na+b=3n2+15,(a,b)∈C, 即a2+b2≤144,因此原題等價(jià)于關(guān)于a,b的混合組是否有實(shí)數(shù)解. ∵(3n2+15)2=(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2)≤144(n2+1),即(n2-3)2≤0. ∴n2-3=0,n=±,這與n∈Z矛盾.故不存在實(shí)數(shù)a,b,使(1),(2)同時(shí)成立. 思想方法小結(jié):解法1中的△≥0只能保證直線與拋物線有公共點(diǎn),但這個(gè)公共點(diǎn)不一定是整數(shù)點(diǎn).由于求得的a,b不能使兩條曲線的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn),所以符合題意的a,b當(dāng)然不存在了.解法2中,(na+b)2=n2a2+2nab+b2≤n2a2+a2+n2b2+b2=(n2+1)(a2+b2).其中運(yùn)用了:若x,y為實(shí)數(shù),則有2xy≤x2+y2. |
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,b,則(a,b)∈A且(a,b)∈B且(a,b)∈C,即y=ax+b與y=3x2+15有公共解. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:訓(xùn)練必修二數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型:044
已知A={(x,y)|x2+y2=16},B={(x,y)|x2+(y-2)2=a-1},當(dāng)A∩B=時(shí),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},則A∩B等于( )
A.∅ B.{(0,0)}
C.{(5,5)} D.{(0,0),(5,5)}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年北師大版高中數(shù)學(xué)必修1 1.3集合的基本運(yùn)算練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},則A∩B= ( )
A.{2,1} B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)} D.(2,1)
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