Question

已知：0＜α＜＜β＜π，cos（β-）=，sin（α+β）=．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：直接利用兩角差的余弦函數(shù)展開，再用方程兩邊平方，求sin2β的值；
     法二：利用sin2β=cos（-2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；
（2）通過題意求出sin（β-）=，cos（α+β）=-，根據(jù)cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]，展開代入數(shù)據(jù)，即可求cos（α+）的值．
解答：解：（1）法一：∵cos（β-）=coscosβ+sinsinβ
=cosβ+sinβ=．
∴cosβ+sinβ=．
∴1+sin2β=，∴sin2β=-．
法二：sin2β=cos（-2β）
=2cos²（β-）-1=-．
（2）∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β-＜，＜α+β＜．
∴sin（β-）＞0，cos（α+β）＜0．
∵cos（β-）=，sin（α+β）=，
∴sin（β-）=，cos（α+β）=-．
∴cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]
=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）
=-×+×=．
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡與求值，角的變換技巧在三角函數(shù)化簡求值中應(yīng)用比較普遍，不僅體現(xiàn)一個人的解題能力，同時體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，可以說是智慧與能力的展現(xiàn)題目．