Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式g（x）＜

x-m

x

有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=a+

1

x

，分當(dāng)a≥0時(shí)，和a＜0時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-e^x

x

，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+lnx，的定義域是（0，+∞），且f′（x）=a+

1

x

（x＞0），
1°當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
2°當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，解得x=-

1

a

，
則當(dāng)x∈（0，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）由題意：e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，
設(shè)h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x

x

-

ex

2 x

=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
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x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且x∈（0，+∞）時(shí)e^x＞1，
所以1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，即h′（x）＜0．
故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．