Question

已知球O_l、O₂的半徑分別為l、r，體積分別為V₁、V₂，表面積分別為S₁、S₂，當(dāng)r∈（1，+∞）時(shí)，

V2-V1

S2-S1

的取值范圍是

（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)球的體積和表面積公式，代入

V2-V1

S2-S1

化簡可得

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]，令t=r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞），結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．

解答：解：令

V2-V1

S2-S1

=

4 3 π(r3-1)

4π(r2-1)

=

(r3-1)

3(r2-1)

=

r2+r+1

3(r +1 )

=

(r+1)2-(r+1)+1

3(r +1)

=

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]
令t=r+1，由r∈（1，+∞）可得t∈（2，+∞）
∵y=t+

1

t

在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)t=2時(shí)t+

1

t

=

5

2

故

V2-V1

S2-S1

=

1

3

[（r+1）+

1

r+1

-1]＞

1

3

（

5

2

-1）=

1

2

故

V2-V1

S2-S1

的取值范圍是（

1

2

，+∞）
故答案為：（

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以球的體積和表面積公式為載體考查了對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)應(yīng)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課本沒有但用途很廣的函數(shù)之一，特別是其單調(diào)性和極值一定要熟練掌握．