Question

已知三角形三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，其周長和面積分別為p₁，S₁，將三邊都增加10后得到新的三角形周長和面積分別為p₂，S₂，若p₁p₂=S₁S₂，求原三角形最小角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：設(shè)出原三角形的三邊長分別為：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺），求出三角形的周長和面積；
根據(jù)已知條件列出方程，解方程求出n的值，由此得出原三角形的三邊長，再求出最小角的正弦值即可．

解答： 解：設(shè)原三角形的三邊長分別為：n-1，n，n+1（n≥3，n∈N⁺），
則周長p₁=3n，p₂=3n+30；
∴由海倫公式得三角形的面積為
s₁=

3n 2 ．( 3n 2 -n+1)( 3n 2 -n)( 3n 2 -n-1)

=

n

4

3(n+2)(n-2)

，
同理，s₂=

n+10

4

3(n+12)(n+8)

；
∵p₁p₂=S₁S₂，
∴3n•（3n+30）=

n

4

3(n+2)(n-2)

•

n+10

4

3(n+12)(n+8)

，
解得n=4，
∴原三角形的三邊長分別是3，4，5；
∵3²+4²=5²，
∴該三角形是直角三角形，
∴該三角形最小角的正弦值是

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中基本的邊角關(guān)系是什么，解題的關(guān)鍵應(yīng)用海倫公式求出面積，是中檔題．