Question

如圖，放置的邊長為1的正三角形PAB沿 x軸滾動．設(shè)頂點P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=f（x），記f（x）的最小正周期為T；y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積記為S，則S•T=

 

．

Answer 1

分析：由已知中長為1的正三角形PAB沿 x軸滾動，我們易畫出滾動過程中點P的國軌跡，頂點P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=f（x），由圖象我們易分析出f（x）的最小正周期T的值，；由其點P的軌跡圖象可以得出其軌跡與X軸所圍成的圖形是一個個相鄰的半圓，即兩零點之間的圖象與X軸圍成的圖形是2個

1

3

圓，由公式計算出面積即可得到答案．

解答：解：由已知中邊長為1的正三角形PAB沿 x軸滾動
則滾動二次后，P點的縱坐標(biāo)和起始位置一樣第三次滾動時以點P為圓心，故點P不動，
故函數(shù)y=f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，即T=3
兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積如下圖所示：
由圖可知，其兩個零點之間所圍成的面積為以1為半徑的2個

1

3

圓再加上一個邊長為1的正三角形的面積，故其面積是

2π

3

+

3

4

，即S=

2π

3

+

3

4

，
所以S×T=2π+

3 3

4

，
故答案為：2π+

3 3

4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象及圖象變化，其中根據(jù)已知條件畫出滿足條件的函數(shù)的圖象，是解答本題的關(guān)鍵．本題較抽象，其中判斷周期易出錯，要明白研究的函數(shù)是點P的橫縱坐標(biāo)之間的函數(shù)的關(guān)系，如此則不易出錯了