Question

如果橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為

[

2

-1，1)

．

Answer 1

分析：先利用橢圓的第二定義：到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)e（離心率），用P到左焦點(diǎn)的距離表示P到左準(zhǔn)線的距離，再利用橢圓的第一定義：到兩焦點(diǎn)的距離之和為定值2a，且P到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a-c，a+c]，列出關(guān)于e的不等式即可解得橢圓的離心率的取值范圍

解答：解：設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，離心率為e
由橢圓第二定義，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為

d1

e

，∴

d1

e

=d₂，
又∵d₁+d₂=2a，∴

2a-d2

e

=d₂，即d₂=

2a

e+1

∵a-c≤d₂≤a+c
∴a-c≤

2a

e+1

≤a+c，即1-e≤

2

e+1

≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得

2

-1≤e＜1
故答案為[

2

-1，1)

點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓的兩個(gè)定義及兩個(gè)定義間的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，解題時(shí)重點(diǎn)掌握橢圓的兩個(gè)定義