Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC∥平面AED；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定，可以證出BC∥平面AED；
（Ⅱ）欲證面面垂直，要先找線面垂直，因此利用兩條相交直線都與BC垂直，從而得到BCPBC⊥平面PAC，再結(jié)合BC在平面PBC當(dāng)中，因此得平面PBC⊥平面PAC．
解答：解：（Ⅰ）∵PD=DB，PE=EC
∴DE∥BC
又∵BC?平面ADE，DE⊆平面ADE     
∴BC∥平面ADE     
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC
∴BC⊥PA
又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，PC⊆平面PAC，AC⊆平面PAC
∴BC⊥平面PAC
∵BC⊆平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC．
點(diǎn)評(píng)：題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面的平行，是中檔題．著重考查了空間想象能力和邏輯思維能力，是立體幾何中一道基礎(chǔ)題．