Question

已知y=f（x）是函數(shù)（a≠0，a∈R）的反函數(shù)，
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）當a=1時，過點（1，-1）是否存在函數(shù)y=f（x）圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若a是使f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立的最小值，試比較與f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]的大�。�0＜λ＜1，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)（a≠0，a∈R）的反函數(shù)f（x），把f（x）代入化簡后，再對a進行分類討論，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，則不等式易解；
（Ⅱ）設(shè)出切點，用導(dǎo)數(shù)工具刻畫出函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點，進而得出切線的情況；
（Ⅲ）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解a值，再利用，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，來進行證明即可．
解答：解：（1）由已知可得f（x）=lnax，當a＞0時，f（x）的定義域為（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的定義域為（-∞，0）
①當a＞0時，x＞0，原不等式等價于：?ax²+2x-1＞0，
可得  ；
②當a＜0時，x＜0，原不等式等價于：?ax²+2x-1＜0，
可得  x∈（-∞，0）．                  （4分）
（2）設(shè)y=f（x）圖象上的切點坐標為（x，f（x）），顯然x≠1，
可得，
，，
可得h（x）在（1，+∞）為增區(qū)間；（0，1）為減區(qū)間，h（x）＞h（1）=1
所以h（x）=0沒有實根，故不存在切線．（9分）
（3）∵對x≥1恒成立，所以，
令，可得h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故lna≥h（1）=0，a_min=1．得，f（x）=lnx．
令，，
而，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，
所以，
=f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]．               （14分）
點評：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，涉及不等式的解法和函數(shù)恒成立問題以及切線問題，屬中檔題．