如圖,已知曲線C:(a>0),曲線C與x軸相交于A、B兩點,直線l過點B且與x軸垂直,點S是直線l上異于點B的任意一點,線段SA與曲線C交于點T,線段TB與以線段SB為直徑的圓相交于點M.
(I)若點T與點M重合,求的值;
(II)若點O、M、S三點共線,求曲線C的方程.

【答案】分析:(I)設(shè)T(x,y),S(a,y1),由點A,T,S共線,確定直線方程,求得S的坐標(biāo),利用點T與點M重合時,有BT⊥AS,kSA•kBT=-1,得a的值,再利用=AB2,即可求得結(jié)論;
(II)以線段SB為直徑的圓相交于點M點,又O、M、S三點共線,知BM⊥OS,∴BT⊥OS,由此可求a的值,從而可得曲線C的方程.
解答:解:(I)設(shè)T(x,y),S(a,y1),則,所以
由點A,T,S共線有:=,得:,即S(a,
當(dāng)點T與點M重合時,有BT⊥AS,kSA•kBT=×=-1,得a=1.
=AB2=(2a)2=4;
(II)以線段SB為直徑的圓相交于點M點,又O、M、S三點共線,知BM⊥OS,∴BT⊥OS
∴kSO•kBT=×=-1,∴a2=2
∴所求曲線C的方程為
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識的運用,解題的關(guān)鍵是確定a的值,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=
1
x
,Cn:y=
1
x+2-n
(n∈N*)
.從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1).設(shè)x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
(I)求a1,a2,a3的值;
(II)求數(shù)列{an}的通項公式;
(III)設(shè)△PiQiQi+1(i∈N*)和面積為Si,記f(n)=
n
i=1
Si
,求證f(n)<
1
6
.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
在點P(1,1)處的切線與x軸交于點Q1,過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1,曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2,過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2,…,依次得到一系列點P1、P2、…、Pn,設(shè)點Pn的坐標(biāo)為(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
(Ⅲ)設(shè)直線OPn的斜率為kn,求數(shù)列{nkn}的前n項和Sn,并證明Sn
4
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•南京二模)如圖,已知曲線C:y=
1
x
,Cn:y=
1
x+2-n
(n∈N*)
.從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設(shè)x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
(Ⅰ)求Q1,Q2的坐標(biāo);
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)記數(shù)列{an•bn}的前n項和為Sn,求證:Sn
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
,Cny=
1
x+2-n
(n∈N*).從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再過點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1)設(shè),x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn -yn+1
(1)求點Q1、Q2的坐標(biāo);
(2)求數(shù)列{an} 的通項公式;
(3)記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項和為Sn,求證sn
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=x2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點A1,過A1作x軸的垂線交曲線C于P1,過P1作y軸的垂線交RQ于B1,記a1為矩形A1P1B1Q的面積.分別取線段OA1,P1B1的中點A2,A3,過A2,A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2,P3,過P2,P3分別作y 軸的垂線交A1P1,RB1于B2,B3,記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推,記an為2n-1個矩形面積之和,從而得數(shù)列{an},設(shè)這個數(shù)列的前n項和為Sn
(Ⅰ) 求a2與an
(Ⅱ) 求Sn,并證明Sn
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