已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（1）

（2）的單調遞減區(qū)間為，；   單調遞增區(qū)間為.

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）因為，

所以，       1分

所以曲線在點處的切線斜率為.    

又因為，

所以所求切線方程為，即．   2分

（2），

①若，當或時，；

當時，.

所以的單調遞減區(qū)間為，；

單調遞增區(qū)間為.                           4分

②若，，所以的單調遞減區(qū)間為.

③若，當或時，；

當時，.

所以的單調遞減區(qū)間為，；

單調遞增區(qū)間為.                         7分

（3）由（2）知，在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值.

由，得.

當或時，；當時，.  10分

所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值.

因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，

所以，即. 所以. 12分

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分14分)已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為正數(shù)）

（I）若在處取得極值，且是的一個零點，求的值；（II）若，求在區(qū)間上的最大值；（III）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東華附、省高三上學期期末聯(lián)考理數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的零點；

（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內，另一個在區(qū)間外，

求的取值范圍；

（3）已知且函數(shù)在上是單調函數(shù)，探究函數(shù)的單調性.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年北京市西城區(qū)高三上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆河北省高三上學期一調考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆河北省石家莊市高二下學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調區(qū)間；

（3）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

 

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