Question

（2012•煙臺(tái)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4bn-

n

2

=(an+1)n，求S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可證得

an+1+1

an+1

=2，從而可求得a_n+1的通項(xiàng)公式，繼而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ-1，再由4bn-

n

2

=(an+1)n可求得b_n=

1

2

（n²+n），利用裂項(xiàng)法可求得S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

解答：證明：（1）a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，
∴a₁+1≠0，a_n+1≠0，

an+1+1

an+1

=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
即a_n+1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1．     　　　…（6分）
（2）∵4bn-

n

2

=(an+1)n，
∴4bn-

n

2

=2n2，
∴2b_n-n=n²，
即b_n=

1

2

（n²+n）．…（9分）
∴S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求和，求得

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

）是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．