給定直線動圓M與定圓外切且與直線相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是曲線C上兩動點（異于坐標原點O），若求證直線AB過一定點，并求出定點的坐標.

（1）（2）

解析試題分析：解：（1）由已知可得：定圓的圓心為（－3，0），且M到（－3，0）的距離比它到直線的距離大1，∴M到（－3，0）的距離等于它到直線的距離，
∴動圓圓心M的軌跡為以F（－3，0）為焦點，直線為準線的拋物線，開口向左，
， ∴動圓圓心M的軌跡C的方程為：
（也可以用直接法：，然后化簡即得：）；
（2）方法一：經(jīng)分析：OA,OB的斜率都存在，都不為0，設(shè)OA：，則OB：，
聯(lián)立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,
∴, 即: ,
令,則,∴,∴直線AB與x軸交點為定點，
其坐標為。方法二：當AB垂直x軸時，設(shè)A，則B，
∵∴，∴
此時AB與x軸的交點為；
當AB不垂直x軸時，設(shè)AB：，聯(lián)立和有：
，∴，
∵∴，即：，
∴AB：，此時直線AB與x軸交點為定點，其坐標為,
綜上：直線AB與x軸交點為定點，其坐標為。
考點：拋物線的方程；
點評：對于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點時，一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式：在一元二次方程中，。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫出的簡圖；
（2）點是圓上第一象限內(nèi)的任意一點，過作圓的切線交軌跡于，兩點．
（i）證明：；
（ii）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標原點對稱，直線m垂直于軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q，且.
（Ⅰ）求點T的橫坐標；
（Ⅱ）若橢圓C以F1,F2為焦點，且F1,F2及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標準方程；
② 過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設(shè)，若的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左焦點F為圓的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為。
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點F的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（），證明：為定值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線與拋物線相切于點，且與軸交于點，為坐標原點，定點的坐標為.

（1）若動點滿足，求點的軌跡；
（2）若過點的直線（斜率不等于零）與（1）中的軌跡交于不同的兩點（在之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓：且為常數(shù)上關(guān)于原點對稱的兩點，點是橢圓上的任意一點，若直線和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點位置無關(guān)的定值．
試對雙曲線且為常數(shù)寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為，曲線的極坐標方程為．
（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

過點的直線交直線于，過點的直線交軸于點，，.
（1）求動點的軌跡的方程；
(2)設(shè)直線l與相交于不同的兩點、，已知點的坐標為(－2,0)，點Q(0，)在線段的垂直平分線上且≤4，求實數(shù)的取值范圍.

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