給定直線動圓M與定圓
外切且與直線
相切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A、B是曲線C上兩動點(異于坐標原點O),若求證直線AB過一定點,并求出定點的坐標.
(1)(2)
解析試題分析:解:(1)由已知可得:定圓的圓心為(-3,0),且M到(-3,0)的距離比它到直線的距離大1,∴M到(-3,0)的距離等于它到直線
的距離,
∴動圓圓心M的軌跡為以F(-3,0)為焦點,直線為準線的拋物線,開口向左,
, ∴動圓圓心M的軌跡C的方程為:
(也可以用直接法:,然后化簡即得:
);
(2)方法一:經(jīng)分析:OA,OB的斜率都存在,都不為0,設(shè)OA:,則OB:
,
聯(lián)立和
的方程求得A(
,
),同理可得B(
,
),
∴, 即:
,
令,則
,∴
,∴直線AB與x軸交點為定點,
其坐標為。方法二:當AB垂直x軸時,設(shè)A
,則B
,
∵∴
,∴
此時AB與x軸的交點為;
當AB不垂直x軸時,設(shè)AB:,聯(lián)立
和
有:
,∴
,
∵∴
,即:
,
∴AB:,此時直線AB與x軸交點為定點,其坐標為
,
綜上:直線AB與x軸交點為定點,其坐標為。
考點:拋物線的方程;
點評:對于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點時,一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式:在一元二次方程中,
。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動點到點
的距離與到直線
的距離之比為定值
,記
的軌跡為
.
(1)求的方程,并畫出
的簡圖;
(2)點是圓
上第一象限內(nèi)的任意一點,過
作圓的切線交軌跡
于
,
兩點.
(i)證明:;
(ii)求的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為F2,點F1與F2關(guān)于坐標原點對稱,直線m垂直于
軸(垂足為T),與拋物線交于不同的兩點P、Q,且
.
(Ⅰ)求點T的橫坐標;
(Ⅱ)若橢圓C以F1,F2為焦點,且F1,F2及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標準方程;
② 過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點,設(shè),若
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的左焦點F為圓
的圓心,且橢圓上的點到點F的距離最小值為
。
(I)求橢圓方程;
(II)已知經(jīng)過點F的動直線與橢圓交于不同的兩點A、B,點M(
),證明:
為定值。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知直線與拋物線
相切于點
,且與
軸交于點
,
為坐標原點,定點
的坐標為
.
(1)若動點滿足
,求點
的軌跡
;
(2)若過點的直線
(斜率不等于零)與(1)中的軌跡
交于不同的兩點
(
在
之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
(
)過點
,其左、右焦點分別為
,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是直線
上的兩個動點,且
,則以
為直徑的圓
是否過定點?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓具有性質(zhì):若是橢圓
:
且
為常數(shù)
上關(guān)于原點對稱的兩點,點
是橢圓上的任意一點,若直線
和
的斜率都存在,并分別記為
,
,那么
與
之積是與點
位置無關(guān)的定值
.
試對雙曲線且
為常數(shù)
寫出類似的性質(zhì),并加以證明.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標平面內(nèi),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為
,曲線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)判斷曲線與曲線
的交點個數(shù),并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
過點的直線
交直線
于
,過點
的直線
交
軸于
點,
,
.
(1)求動點的軌跡
的方程;
(2)設(shè)直線l與相交于不同的兩點
、
,已知點
的坐標為(-2,0),點Q(0,
)在線段
的垂直平分線上且
≤4,求實數(shù)
的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com