Question

6．某城市受霧霾影響嚴重，現(xiàn)欲在該城市中心P的兩側(cè)建造A，B兩個空氣凈化站（A，P，B三點共線），A，B兩站對該城市的凈化度分別為a，1-a，其中a∈（0，1）．已知對該城市總凈化效果為A，B兩站對該城市的凈化效果之和，且每站凈化效果與凈化度成正比，與中心P到凈化站距離成反比．若AB=1，且當AP=$\frac{3}{4}$時，A站對該城市的凈化效果為$\frac{a}{3}$，B站對該城市的凈化效果為1-a．
（1）設(shè)AP=x，x∈（0，1），求A，B兩站對該城市的總凈化效果f（x）；
（2）無論A，B兩站建在何處，若要求A，B兩站對該城市的總凈化效果至少達到$\frac{1}{2}$，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)A站對P城市的凈化效果為y₁、比例系數(shù)為k₁，利用y₁=$\frac{{a•k}_{1}}{x}$可知y₁=$\frac{a}{4x}$，同理y₂=$\frac{1-a}{4（1-x）}$，進而可得結(jié)論；
（2）通過變形、利用基本不等式可知f（x）_min=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]≥$\frac{1}{2}$，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A站對P城市的凈化效果為y₁，
比例系數(shù)為k₁，則y₁=$\frac{{a•k}_{1}}{x}$，
由題意x=$\frac{3}{4}$，y₁=$\frac{a}{3}$，即$\frac{a}{3}$=$\frac{a•{k}_{1}}{\frac{3}{4}}$，
∴k₁=$\frac{1}{4}$，∴y₁=$\frac{a}{4x}$；
設(shè)B站對P城市的凈化效果為y₂，則y₂=k₂•$\frac{1-a}{1-x}$，
由x=$\frac{3}{4}$，y₂=1-a可知k₂=$\frac{1}{4}$，
∴y₂=$\frac{1-a}{4（1-x）}$；
∴A、B兩站對該城市的總凈化效果f（x）為：f（x）=y₁+y₂=$\frac{a}{4x}$+$\frac{1-a}{4（1-x）}$，x∈（0，1）；
（2）由題可知：f（x）≥$\frac{1}{2}$對任意x∈（0，1）恒成立，
只需x∈（0，1）時f（x）_min≥$\frac{1}{2}$即可．
又∵$\frac{a}{4x}$+$\frac{1-a}{4（1-x）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{a}{x}$+$\frac{1-a}{1-x}$）[x+（1-x）]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{a（1-x）}{x}$+$\frac{（1-a）x}{1-x}$]
≥$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{\frac{a（1-x）}{x}•\frac{（1-a）x}{1-x}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]，
當且僅當$\frac{a（1-x）}{x}$=$\frac{（1-a）x}{1-x}$即$\frac{1}{x}$=1+$\sqrt{\frac{1}{a}-1}$時取等號，
∴f（x）_min=$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]，
又∵$\frac{1}{4}$[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]≥$\frac{1}{2}$，
∴$（a-\frac{1}{2}）^{2}$≤0，即a=$\frac{1}{2}$，
綜上所述，滿足條件的a的取值集合為{$\frac{1}{2}$}．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．