Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1．
（1）求證：平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱錐B₁-A₁C₁B的體積；
（3）求異面直線BC₁與AA₁所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明A₁C₁⊥BB₁，A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，即可證明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．然后證明平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）三棱錐B₁-A₁C₁B的體積轉(zhuǎn)化為求解即可；
（3）通過A₁A∥B₁B說明異面直線BC₁與AA₁所成角就是∠BB₁C₁，然后求解即可．
解答：證：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵A₁C₁?平面-A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁即A₁C₁⊥BB₁，
又∵A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁，平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
（2）三棱錐B₁-A₁C₁B的體積轉(zhuǎn)化為：，
==．
（3）∵A₁A∥B₁B，∴∠BB₁C₁就是異面直線BC₁與AA₁所成角．
易知△BB₁C₁為等腰三角形，∴∠BB₁C₁=45°．
即異面直線BC₁與AA₁所成角的大小為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直，異面直線所成的角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．