Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，（x-k） f´（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應(yīng)按a的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；
（II）由題設(shè)條件結(jié)合（I），將不等式，（x-k） f´（x）+x+1＞0在x＞0時成立轉(zhuǎn)化為k＜（x＞0）成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求g（x）=在x＞0上的最小值問題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值；
解答：解：（I）函數(shù)f（x）=e^x-ax-2的定義域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a≥0，所以函數(shù)f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）=e^x-a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）=e^x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（II）由于a=1，所以，（x-k） f´（x）+x+1=（x-k） （e^x-1）+x+1
故當(dāng)x＞0時，（x-k） f´（x）+x+1＞0等價于k＜（x＞0）①
令g（x）=，則g′（x）=
由（I）知，函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，設(shè)此零點為α，則有α∈（1，2）
當(dāng)x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得e^α=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等價于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是第一小題應(yīng)用分類的討論的方法，第二小題將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，分類討論的思想，考查計算能力及推理判斷的能力，綜合性強，是高考的重點題型，難度大，計算量也大，極易出錯．