Question

18．已知直線l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l₁，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，求直線l₁的方程．
（3）若直線l與兩坐標軸的負半軸圍成的三角形面積最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．化為：m（x-2y-3）+2x+y+4=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設(shè)直線l₁與兩條坐標軸分別相交于A（a，0），B（0，b）．線段AB的中點為M（-1，-2），則a=-2，b=-4．即可得出直線l₁的方程．
（3）設(shè)直線l與兩條坐標軸分別相交于A（a，0），B（0，b）．可得方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，把點M（-1，-2）代入可得：$\frac{-1}{a}+\frac{-2}$=1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）直線l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．化為：m（x-2y-3）+2x+y+4=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=-2．
可得：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M（-1，-2）．
（2）設(shè)直線l₁與兩條坐標軸分別相交于A（a，0），B（0，b）．
線段AB的中點為M（-1，-2），則a=-2，b=-4．
∴直線l₁的方程為：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{-4}$=1，可得：2x+y+4=0．
（3）設(shè)直線l與兩條坐標軸分別相交于A（a，0），B（0，b）．
可得方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，
把點M（-1，-2）代入可得：$\frac{-1}{a}+\frac{-2}$=1，
∴$1≥2\sqrt{\frac{-1}{a}•\frac{-2}}$，化為：ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=-4時取等號．
可得：直線l與兩坐標軸的負半軸圍成的三角形面積最小，S=$\frac{1}{2}$（-a）（-b）=4．
則l的方程為：：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{-4}$=1，可得：2x+y+4=0．

點評 本題考查了直線系的應(yīng)用、中點坐標公式、直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．