【題目】如圖的空間幾何體中,四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形,平面,,,且,.
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)分別取的中點(diǎn),,連接,,,首先證明出四邊形為平行四邊形得到,接著通過(guò)證明面來(lái)得到面,通過(guò)面面垂直判定定理即可得結(jié)果;
(2)如圖所示:取中點(diǎn),記,連接,,利用線面平行性質(zhì)定理證出兩面的交線與平行,然后再證出,可得為平面與平面ABCD所成二面角的平面角,在中即可求得答案.
(1)如圖所示:
分別取的中點(diǎn),,連接,,,
∵,,,,
∴,且,,
∴四邊形為平行四邊形,∴,
由于,為的中點(diǎn),四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形
∴,
又∵平面,∴,
又∵,∴面,
∴面,
∴平面平面.
(2)如圖所示:取中點(diǎn),記,連接,,
由(1)知,,∴面ABCD,
記面面,則
易得,即,
又∵平面,∴,
又∵,,
∴面,∴,即為直角三角形,
同理為直角三角形,
由于,,
由,則,∴,
∴,即,
∴則為平面與平面ABCD所成二面角的平面角,
由四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形得,
∴,∴,
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,圓是的內(nèi)切圓,在邊,,上的切點(diǎn)分別為,,,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,是坐標(biāo)原點(diǎn),若,判斷四邊形的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,為的中點(diǎn),現(xiàn)將與折起,使得平面及平面都與平面垂直.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,若曲線與:(為參數(shù))相交于,兩個(gè)不同點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,,,則________.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))
①四面體每個(gè)面的面積相等
②四面體每組對(duì)棱相互垂直
③連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分
④從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中,4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表,則下列說(shuō)法中有誤的是( )
A. 成績(jī)?cè)?/span>分的考生人數(shù)最多
B. 不及格的考生人數(shù)為1000人
C. 考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約70.5分
D. 考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,四棱錐中,底面,面是直角梯形,為側(cè)棱上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.
(1)證明:平面;
(2)線段上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為?若存在,找到所有符合要求的點(diǎn),并求的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程;
Ⅱ若直線與曲線C交于點(diǎn)不同于原點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)B,求的值.
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