Question

已知圓的方程為x²+y²+ax+2y+a²=0，一定點為A（1，2），要使過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，點A必在圓外，推出不等式，然后解答不等式即可．

解答：解：將圓的方程配方得（x+

a

2

）²+（y+1）²=

4-3a2

4

，圓心C的坐標為（-

a

2

，-1），半徑r=

4-3a2 4

，
條件是4-3a²＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

(1+ a 2 )2+(2+1)2

＞

4-3a2 4

．
化簡得a²+a+9＞0．
由4-3a²＞0，a²+a+9＞0，
解之得-

2 3

3

＜a＜

2 3

3

，
a∈R．
∴-

2 3

3

＜a＜

2 3

3

．
故a的取值范圍是（-

2 3

3

，

2 3

3

）．

點評：本題考查圓的切線方程，直線和圓的方程的應用，考查一元二次不等式的解法，邏輯思維能力，是中檔題．