Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）一求切點(diǎn)，二求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率；
（2）只需求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)一步求其最值構(gòu)造不等式求解；比較大小可將兩個(gè)值看成函數(shù)值，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（Ⅰ） 因?yàn)閍=-2時(shí)，f（x）=inx+x-1，f′（x）=$\frac{1}{x}$+1．
所以切點(diǎn)為（1，0），k=f′（1）=2．
所以a=-2時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2．
（ II）（ i）由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）=0，
∴a≤0不合題意．
②當(dāng)a≥2即0$＜\frac{2}{a}$≤1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$＜0，在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2滿足題意．
③若0＜a＜2即$\frac{2}{a}＞1$時(shí)，由f′（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0，可得x$＞\frac{2}{a}$，
∴f（x）在$（1，\frac{2}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{2}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減，
∴f（$\frac{2}{a}$）＞f（1）=0，
∴0＜a＜2不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．