Question

(本題滿分12分) 如圖，平面⊥平面，其中為矩形，為梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，為中點(diǎn)．

(Ⅰ) 證明；

(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值為，求的長．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 證明見解析(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知為正三角形，為中點(diǎn)，所以 ，

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040209043609378303/SYS201304020905060156839660_DA.files/image006.png">⊥平面，平面⊥平面,

所以平面，所以.                                             ……4分

                                          

(Ⅱ) 方法一：設(shè)．取的中點(diǎn)，由題意得．

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040209043609378303/SYS201304020905060156839660_DA.files/image006.png">⊥平面，，所以⊥平面，

所以,所以⊥平面．

過作，垂足為，

連結(jié)，則，

所以為二面角的平面角．                                          ……8分

在直角△中，，得．

在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．

在直角△中，，＝，得＝．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040209043609378303/SYS201304020905060156839660_DA.files/image039.png">＝＝，得x＝，所以＝．                       ……12分

方法二：設(shè)．以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，，0)，(－2，0，)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040209043609378303/SYS201304020905060156839660_DA.files/image054.png">⊥平面，所以平面的法向量可取＝(0，1，0)．

設(shè)＝為平面的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因?yàn)閏os<，>＝＝，

得x＝，所以＝．                                                    ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查線面垂直的證明和二面角的應(yīng)用，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：遇到立體幾何的證明題，要緊扣定理，要把定理要求的條件一一列清楚；而利用空間向量解決立體幾何問題時(shí)，要建立右手空間直角坐標(biāo)系，要準(zhǔn)確計(jì)算.