Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．若a是從區(qū)間[0，3]任取一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取一個(gè)數(shù)，上述方程有實(shí)根的概率是（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：如圖，試驗(yàn)的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜲ABC及其內(nèi)部，利用一元二次方程根的判別式算出方程有實(shí)根的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中的梯形OABD及其內(nèi)部，求出兩個(gè)區(qū)域的面積并利用幾何概型公式，即可算出所求的概率．

解答：解：如圖，所有的基本事件對(duì)應(yīng)集合Ω={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槿鐖D的矩形OABC及其內(nèi)部，其面積為S=3×2=6；
設(shè)事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根”
∵△=（2a）²-4×1×b²≥0，結(jié)合a、b都是非負(fù)數(shù)，解得a≥b，
∴事件A對(duì)應(yīng)的集合A={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，且a≥b}，
所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜲ABC及其內(nèi)部，且在直線a=b的右下方部分，
即圖中的梯形OABD及其內(nèi)部，其面積S'=

1

2

×（3+1）×2=4．
由于點(diǎn)（a，b）落在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)是隨機(jī)的，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=

S‘

S

=

2

3

，即方程有實(shí)根的概率是

2

3

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的一元二次方程，求方程有實(shí)數(shù)根的概率．著重考查了一元二次方程根的判別式、不等式表示的平面區(qū)域、面積公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．