Question

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關系．

Answer 1

分析：（1）先將(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0轉化為(

3

x+y-3)k+(x-

3

y-

3

)=0進而可求得F的坐標得到c的值，再由a+c=2+

3

可求出a的值，進而可得b的值，確定橢圓方程．
（2）先根據x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點確定r的范圍，再由（m，n）在橢圓C上可得到

m2

4

+n2=1和m的范圍，圓心O到直線l₁的距離和圓心O到直線l₂的距離可判斷直線l₁與l₂與圓O的關系．

解答：解：（1）(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0?(

3

x+y-3)k+(x-

3

y-

3

)=0，
解

3 x+y-3=0   x- 3 y- 3 =0

得F(

3

，  0)．
設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，
則由題設，知

c= 3 a+c=2+ 3

于是a=2，b²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）因為圓O：x²+y²=r²（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，
所以b＜r＜a，即1＜r＜2．
因為點（m，n）是橢圓

x2

4

+y2=1上的點，
所以

m2

4

+n2=1，且-2≤m≤2．
所以

m2+n2

=

3 4 m2+1

∈[1，  2]．
于是圓心O到直線l₁的距離d1=

1

m2+n2

≤1＜r，
圓心O到直線l₂的距離d2=

4

m2+n2

≥2＞r．
故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與圓的位置關系．