Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（e≈2.71828）
（I）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））x=1處的切線為l，若l與圓(x-1)2+y2=

1

2

相切，求a的值；
（II）若對于任意實數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍；
（III）當(dāng)a=-1時，是否存在實數(shù)x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與Y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)x=1代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，把x=1代入f（x）求出切點的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，然后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于r列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（II）當(dāng)x=0時，顯然f（x）=e^x＞0恒成立；當(dāng)x大于0時，令f（x）大于0，解出a大于一個函數(shù)，設(shè)這個函數(shù)為Q（x），求出Q（x）的導(dǎo)函數(shù)，分x大于0小于1和x大于1兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到Q（x）的最大值，即可得到a的取值范圍；
（III）把f（x）和g（x）的解析式代入y中確定出y的解析式，設(shè)M（x）為y的解析式，求出M（x）的導(dǎo)函數(shù)，h（x）=

1

x

+lnx-1，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，由x的范圍得到導(dǎo)函數(shù)為正數(shù)，進(jìn)而得到h（x）在[1，e]上為增函數(shù)，得到h（1）為最小值，即可得到M（x）的最小值，而曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，即切線的斜率為0，即導(dǎo)函數(shù)的值為0，與導(dǎo)函數(shù)的最小值為1矛盾，所以不存在實數(shù)x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

解答：解：（I）f′（x）=e^x+a，因此過點（1，f（1））的直線斜率為e+a，
又f（1）=e+a，∴過點（1，f（1））的直線方程為：y-（e+a）=（e+a）（x-1），
即（a+e）x-y=0，又已知圓的圓心為（1，0），半徑為

1

2

，
依題意，則有

|a+e|

(e+a)2+1

=

1

2

，解得a=-e+1，a=-e-1；
（II）∵在x≥0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
若x=0，a為任意實數(shù)，f（x）=e^x＞0恒成立，
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

在x＞0上恒成立，
設(shè)Q（x）=-

ex

x

，Q′（x）=-

exx-ex

x2

=

(1-x)ex

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時，Q′（x）＞0，Q（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，Q′（x）＜0，Q（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，Q（x）取得最大值，Q（x）_max=Q（1）=-e，
∴要使x≥0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，a的取值范圍是（-e，+∞）；
（III）依題意，曲線C的方程為：y=e^xlnx-e^x+x，
令M（x）=e^xlnx-e^x+x，則M′（x）=

ex

x

+e^xlnx-e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1，
設(shè)h（x）=

1

x

+lnx-1，則h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當(dāng)x∈[1，e]時，h′（x）≥0，故h（x）為增函數(shù)，
因此，h（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為h（1）=ln1=0，
則M′（x）≥1，即曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線的斜率k≥1，
故不存在實數(shù)x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判別方法，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值中的運用，是一道中檔題．