Question

在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a₃=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）記b_n=log₄a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）記y=-λ²+4λ-m，對(duì)于（2）中的S_n，不等式y(tǒng)≤S_n對(duì)一切正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)λ恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a₁=4，a₃=64可求公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由于b_n=log₄a_n=n，所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公差d=1的等差數(shù)列，故可求和；
（3）先求得S_n取得最小值S_min=1，要使對(duì)一切正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1，分離參數(shù)得m≥-λ²+4λ-1恒成立，故可求參數(shù)的范圍．

解答：解：（1）∵q2=

a3

a1

=16，解得q=4或q=-4（舍去）∴q=4…（2分）∴a_n=a₁q^n-1=4×4^n-1=4ⁿ…（3分）  （q=-4沒(méi)有舍去的得2分）
（2）∵b_n=log₄a_n=n，…（5分）∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=1，公差d=1的等差數(shù)列∴Sn=

n(n+1)

2

…（7分）
（3）由（2）知，Sn=

n2+n

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，S_n取得最小值S_min=1…（8分）
要使對(duì)一切正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)λ有y≤S_n恒成立，即-λ²+4λ-m≤1
即對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，m≥-λ²+4λ-1恒成立，∵-λ²+4λ-1=-（λ-2）²+3≤3，
所以m≥3，
故m得取值范圍是[3，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，等差數(shù)列的前n和，同時(shí)考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題