Question

設(shè)全集U={1，2}，集合A={x|x²+px+q=0}，C_UA={1}，
（1）求p、q；
（2）試求函數(shù)y=px²+qx+15在[

1

2

，2]上的反函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)集合U和集合C_UA，得出集合A={2}，說明方程x²+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根且均為2，可以用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出的p、q值；
（2）在（1）的條件下得函數(shù)y=px²+qx+15就是y=-4x²+4x+15，將其看成關(guān)于x的方程解出x=φ（y）的表達(dá)式，再根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行取舍得出x=

1

2

+

1

2

16-y

，最后將x、y進(jìn)行互換，可得函數(shù)y=px²+qx+15在[

1

2

，2]上的反函數(shù)．

解答：解：（1）∵U={1，2}，而C_UA={1}，
∴A={2}，即方程x²+px+q=0的兩根均為2，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：

2+2=-p 2×2=q

，∴

p=-4 q=4

．
（2）∵y=-4x²+4x+15=-4（x-

1

2

）²+16，
而

1

2

≤x≤2，∴7≤y≤16，
∴4（x-

1

2

）²=16-y，
∴x-

1

2

=

1

2

16-y

，
∴x=

1

2

+

1

2

16-y

，
故原函數(shù)的反函數(shù)是y=

1

2

+

1

2

16-x

（7≤x≤16）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、以及集合關(guān)系中的參數(shù)取值等問題．同時(shí)還考查了反函數(shù)的求法，在求反函數(shù)的同時(shí)請(qǐng)注意還要注明反函數(shù)自變量的取值
范圍．