Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

═1的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，e=

1

3

過(guò)F₁的直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，|AF₂||AB||BF₂|成等差數(shù)列，|AB|=4．
（1）求橢圓C的方程．
（2）M、N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若MN被直線(xiàn)x=1平分，證明MN的中垂線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，e=

c

a

=

1

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為（1，y₀），利用點(diǎn)差法求出線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)方程為y-y₀=

9y0

8

(x-1)，由此能證明MN的中垂線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（

1

9

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數(shù)列，
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|．…2分
∴4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，…5分
得a=3，又e=

c

a

=

1

3

，所以c=1，b=

a2-c2

=2

2

，
所求的橢圓方程為：

x2

9

+

y2

8

=1．…7分
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為（1，y₀），
由題意知：

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，…9分
兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

8

=0，
∴k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

9(y1+y2)

=-

8

9y0

，
所以線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)方程為y-y₀=

9y0

8

(x-1)，…11分
∴此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（

1

9

，0）．
∴MN的中垂線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（

1

9

，0）．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線(xiàn)段的中垂線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．