Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-8|，若a＜b≤0，且f（a）=f（b），則a+b的最小值是

-4

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）=|x²-8|，結(jié)合f（a）=f（b），得f（a）=a²-8且f（b）=8-b²，所以a²+b²=16，且-4≤a＜-2

2

＜b≤0．令a=4cosα，b=4sinα，得a+b=4

2

sin（α+

π

4

），-π≤α≤-

3π

4

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得a+b的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=|x²-8|，若a＜b≤0，且f（a）=f（b），
∴f（a）=a²-8且f（b）=8-b²，
∴a²-8=8-b²，即a²+b²=16，且-4≤a＜-2

2

＜b≤0，
令a=4cosα，b=4sinα，-π≤α≤-

3π

4

，
∴a+b=4cosα+4sinα=4

2

sin（α+

π

4

），
∵-π≤α≤-

3π

4

，
∴-

3π

4

≤α+

π

4

≤-

π

2

，
∴當(dāng)α+

π

4

=-

π

2

時(shí)，4

2

sin（α+

π

4

）取最小值-4

2

，
∴a+b的最小值是-4

2

，
故答案為：-4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以含有絕對(duì)值的二次函數(shù)為載體，考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性、三角換元法求函數(shù)值域和等知識(shí)，屬于中檔題．