Question

中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F₁（0，

50

）的橢圓截直線y=3x-2所得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由F₁（0，

50

）得a²-b²=50．
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

，
又AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，∴

x1+x2

2

=

6b2

a2+9b2

=

1

2

，
∴a²=3b²，與方程a²-b²=50聯(lián)立可解出a²=75，b²=25．
故橢圓的方程為

y2

75

+

x2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．