Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，E（1，）是C上的一點．F為C的右焦點．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P（不同于A、B），與橢圓在點B處的切線交于點D．當(dāng)直線l繞點A轉(zhuǎn)動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為，則a=2
∴
∵E（1，）是C上的一點
∴
∴b²=3
∴；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點E的坐標(biāo)為（2，2k）．
將直線方程代入橢圓方程可得得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則-2x₀=
∴x₀=，y₀=k（x₀+2）=
因為點F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±時，點P的坐標(biāo)為（1，±）），點D的坐標(biāo)為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．
當(dāng)k≠±時，則直線PF的斜率k_PF==
所以直線PF的方程為，屬于點E到直線PF的距離d=2|k|
又因為|BD|=4|k|，所以d=|BD|，所以以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)直線l繞點A轉(zhuǎn)動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．
分析：（1）假設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，E（1，）是C上的一點，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)出直線l的方程，根據(jù)題意，表示出D、E的坐標(biāo)，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到交點A、P的坐標(biāo)關(guān)系，因為A點的坐標(biāo)已知，從而求出點P的坐標(biāo)，然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關(guān)系即可．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程、考查直線與橢圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，同時考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧．