Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令g（x）=2x2+2x+a，判別式為：△=4﹣8a，

①：當(dāng)△=4﹣8a≤0，得 ，

此時(shí)g（x）≥0，從而f'（x）≥0，

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

②：當(dāng)△=4﹣8a＞0，即 ，

令g（x）=2x2+2x+a=0，得方程的根 （舍去）， ，

若a＜0，此時(shí)x2＞0，g（x）＞0，得 ，

由g（x）＜0，得 ，

∴f（x）在 上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，

若 ，此時(shí)g（x）=2x2+2x+a的對稱軸為 ，g（0）=a＞0，

∴g（x）＞g（0）=a＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

綜上：當(dāng)a≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜0，f（x）在 上單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減

（2）解：由題意有（2t﹣1）2+2（2t﹣1）+aln（2t﹣1）≥2t2+4t+2alnt﹣3恒成立，

即a[ln（2t﹣1）﹣2lnt]≥﹣2t2+4t﹣2，

即a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，

當(dāng)t=1時(shí)，不等式顯然恒成立，

當(dāng)t＞1時(shí)，t2﹣（2t﹣1）=（t﹣1）2＞0，

所以t2＞2t﹣1，則lnt2＞ln（2t﹣1），

于是 ，在t＞1上恒成立，

令 ，

設(shè)A（t2，lnt2），B（2t﹣1，ln（2t﹣1）），

則 ，且A，B兩點(diǎn)在y=lnx的圖象上，

又t2＞1，2t﹣1＞1，

故0＜kAB＜y'|x=1=1，

所以 ，

故a≤2為所求

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，得到t=1時(shí)，不等式顯然恒成立，當(dāng)t＞1時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為 ，在t＞1上恒成立，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．