Question

（2010•徐匯區(qū)二模）設(shè)數(shù)列{a_n}（n=1，2，…）是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{a_n}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．
（1）若a₁=4，d=2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
（2）試判斷數(shù)列a_n=2n-7（n∈N^*）是否是“封閉數(shù)列”，為什么？
（3）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若公差d=1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使

lim

n→∞

（

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

）=

11

9

；若存在，求{a_n}的通項(xiàng)公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）a_n=4+（n-1）•2=2n+2，對任意的m，n∈N^*，有a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，由此能夠證明該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．
（2）由a₁=-5，a₂=-3，知a₁+a₂=-8，令a_n=a₁+a₂=-8，所以2n-7=-8，n=-

1

2

∉N+，由此能夠證明數(shù)列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封閉數(shù)列．
（3）由{a_n}是“封閉數(shù)列”，得：對任意m，n∈N⁺，必存在p∈N⁺使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1為整數(shù)，由此能夠推導(dǎo)出a_n=n+1（n∈N⁺），該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

解答：解：（1）證明：a_n=4+（n-1）•2=2n+2，
對任意的m，n∈N^*，有
a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N⁺，
于是，令p=m+n+1，
則有a_p=2p+2∈{a_n}．
∴該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．
（2）∵a₁=-5，a₂=-3，
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，
∴2n-7=-8，n=-

1

2

∉N+，
所以數(shù)列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封閉數(shù)列．
（3）解：由{a_n}是“封閉數(shù)列”，
得：對任意m，n∈N⁺，
必存在p∈N⁺使
a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1為整數(shù)，
又∵a₁＞0，
∴a₁是正整數(shù)．
若a₁=1，則Sn=

n(n+1)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=2＞

11

9

，
若a₁=2，則Sn=

n(n+3)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

11

9

，
若a₁≥3，則Sn=

n(2a1+n-1)

2

＞

n(n+3)

2

，
于是

1

Sn

＜

2

n(n+3)

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)＜

11

9

，
綜上所述，a₁=2，
∴a_n=n+1（n∈N⁺），
顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．