Question

相交成90°角的兩條直線和一個(gè)平面所成的角分別為30°和45°，則這兩條直線在該平面上的射影所成銳角為________．

Answer 1

分析：設(shè)兩條直線分別為AC、BC，與平面α成30°角和45°角如圖，作CC₁⊥α于C₁，連接AC₁、BC₁．設(shè)CC₁=1，則可在△AC₁B中求得AC₁、BA、C₁B的長(zhǎng)，從而用余弦定理求出∠AC₁B的大小，得到AC、BC在平面α上的射影所成銳角．
解答：解：設(shè)∠ACB=90°，A、B在α內(nèi)且CA、CB分別與平面α成30°角和45°角，
作CC₁⊥α于C₁，連接AC₁、BC₁，則AC₁、BC₁就是AC、BC在平面內(nèi)α的射影
∴∠CAC₁=30°，∠CBC₁=45°
設(shè)CC₁=1，則Rt△CAC₁中，CA=2，AC₁=，Rt△CBC₁中，CB=，BC₁=1
∵∠ACB=90°，∴AB==
在△AC₁B中，cos∠AC₁B==-，可得∠AC₁B=arccos（-）
∴AC₁、BC₁所成的銳角等于
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出Rt△ABC的兩直角邊AC、BC與平面α所成角的大小，求它們?cè)谄矫姒羶?nèi)的射影所成的銳角，著重考查了直線與平面所成角的定義、余弦定理和反三角函數(shù)等概念，屬于基礎(chǔ)題．