Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD′的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大�。�

Answer 1

分析：解法一：（1）由題意及圖形，利用正方體的特點(diǎn)及異面直線間的公垂線的定義可以求證；
（2）由題意及圖形，利用三垂線定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角的大�。�
解法二：（1）由題意及正方體的特點(diǎn)可以建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)證明兩條直線垂直；
（2）由題意及空間向量的知識(shí)，抓好兩平面的法向量與二面角之間的關(guān)系進(jìn)而可以求出二面角的大小

解答：解：法一（1）連接AC，取AC中點(diǎn)K，
則K為BD的中點(diǎn)，連接OK
因?yàn)镸是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)
所以AM

∥ .

.

1

2

DD′

∥ .

.

OK
所以MO

∥ .

.

AK
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因?yàn)锳K⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因?yàn)镺M是異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（2）取BB′中點(diǎn)N，連接MN，
則MN⊥平面BCC′B′
過點(diǎn)N作NH⊥BC′于H，連接MH
則由三垂線定理得BC’⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=

1

2

•

2

2

=

2

4

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

MN

NH

=

1

2 4

=2

2

故二面角M-BC′-B′的大小為arctan2

2

．

法二：
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)
所以M（1，0，

1

2

），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

）

OM

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

AA′

=（0，0，1），

BD′

=（-1，-1，1）

OM

•

AA′

=0，

OM

•

BD′

=-

1

2

+

1

2

+0=0
所以O(shè)M⊥AA′，OM⊥BD′
又因?yàn)镺M與異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（2）設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為

n1

=（x，y，z）

BM

=（0，-1，

1

2

），

BC′

=（-1，0，1）

n1 • BM =0 n1 • BC′ =0

即

-y+ 1 2 z=0 -x+z=0

取z=2，則x=2，y=1，從而

n1

=（2，1，2）
取平面BC′B′的一個(gè)法向量為

n2

=（0，1，0）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

9 •1

=

1

3

由圖可知，二面角M-BC′-B′的平面角為銳角
故二面角M-BC′-B′的大小為arccos

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力．