Question

已知函數f（x）=（b＜0）的值域是[1，3]，
（1）求b、c的值；
（2）判斷函數F（x）=lgf（x），當x∈[-1，1]時的單調性，并證明你的結論；
（3）若t∈R，求證：lg≤F（|t-|-|t+|）≤lg．

Answer 1

解；（1）設y=，則（y-2）x²-bx+y-c=0． ①
∵x∈R，∴①的判別式△≥0，即 b²-4（y-2）（y-c）≥0，即4y²-4（2+c）y+8c+b²≤0 ②
由條件知，不等式②的解集是[1，3]，
∴1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的兩根，故有 ，
∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）==2-．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，則有 x₂-x₁＞0，且（x₂-x₁）（1-x₁x₂）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=-＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），lgf（x₂）＜lgf（x₁），即F（x₂）＜F（x₁），∴F（x）為減函數．
（3）記 u=，則可得 ，即-≤u≤，
根據F（x）的單調性知，F（）≤F（u）≤F（-）恒成立．
又f（）=2-=，f（-）=2-=，
∴l(xiāng)g≤F（|t-|-|t+|）≤lg對任意實數t 成立．
分析：（1）設y=，則（y-2）x²-bx+y-c=0，由判別式△≥0可得4y²-4（2+c）y+8c+b²≤0，且它的解集是
[1，3]，故1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的兩根，利用根與系數的關系求出b、c的值．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，然后判斷f（x₂）-f（x₁）的符號再由單調性的定義得出結論．
（3）記 u=，則可得 ，即-≤u≤，由F（x）的單調性可得
F（）≤F（u）≤F（-），由此證得結論．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，函數的單調性的判斷和證明，函數的單調性的應用，
屬于中檔題．