Question

正項等比數列{a_n}中，存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，則

1

m

+

4

n

的最小值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  7

  3

• D、

  25

  6

Answer 1

分析：由a₆=a₅+2a₄，求出公比q，由

aman

=4a₁，確定m，n的關系，然后利用基本不等式即可求出則

1

m

+

4

n

的最小值．

解答：解：在等比數列中，∵a₆=a₅+2a₄，
∴a4q2=a4q+2a4，
即q²-q-2=0，
解得q=2或q=-1（舍去），
∵

aman

=4a₁，
∴

a 2 1 ?2m+n-2

=4a1，
即2^m+n-2=16=2⁴，
∴m+n-2=4，即m+n=6，
∴

m

6

+

n

6

=1，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）(

m

6

+

n

6

)=

1

6

+

4

6

+

4m

6n

+

n

6m

≥

5

6

+2

4m 6n ? n 6m

=

5

6

+2×

2

6

=

9

6

=

3

2

，
當且僅當

4m

6n

=

n

6m

，即n=2m時取等號．
故選：A．

點評：本題主要考查等比數列的運算性質以及基本不等式的應用，涉及的知識點較多，要求熟練掌握基本不等式成立的條件．