Question

已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域；

（3）解關于的不等式．

Answer 1

（1）；（2）在上為減函數(shù)，函數(shù)的值域為；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為為奇函數(shù)，所以代入中求得：；（2）

（2）根據(jù)（1）得到的解析式，再利用求導（或定義法）證明其單調(diào)性，進一步求得其值域；（3）因為是奇函數(shù)，等價于進一步根據(jù)單調(diào)性求得不等式的解.

試題解析：（1）因為是奇函數(shù)， ，解得:．；經(jīng)檢驗，當時，函數(shù)是奇函數(shù)．（若不檢驗，則扣１分）

（2）由（1）知

由上式易知在上為減函數(shù)（此處可用定義或?qū)��?shù)法證明函數(shù)在上是減函數(shù)）．

由于函數(shù)的定義域為，所以，因此，所以，函數(shù)的值域為

（3）因是奇函數(shù)，從而不等式等價于

因是減函數(shù)，由上式推得 ，

即解不等式可得.

考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性及值域；3.解不等式.