Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）e^x
（1）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，求證f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（1）由題意可得方程 x²+mx+m=0 無(wú)解，故有△=m²-4m＜0，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x² •e^x，要證的不等式等價(jià)于x²（e^x -x-1）≥0．令g（x）=e^x -x-1，利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值為g（0）=0，g（x）≥0恒成立，x²（e^x -x-1）≥0成立，從而得到要證的不等式成立．

解答：解：（1）∵m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）e^x 沒(méi)有零點(diǎn)，
∴方程 x²+mx+m=0 無(wú)解，∴△=m²-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，4）．
（2）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x² •e^x，不等式等價(jià)于 x² •e^x≥x²+x³ ，
等價(jià)于 x² •e^x-x² -x³≥0，等價(jià)于 x²（e^x -x-1）≥0．
令g（x）=e^x -x-1，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）=e^x -1＜0，故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=e^x -1＞0，故g（x）=e^x -x-1 在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值為g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x -x-1）≥0成立，故要證的不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．