Question

若2＜x＜3，，Q=log₂x，，則P，Q，R的大小關系是（ ）
A．Q＜P＜R
B．Q＜R＜P
C．P＜R＜Q
D．P＜Q＜R

Answer 1

【答案】分析：利用指數函數與對數函數及冪函數的性質可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再構造函數x=2^2t，通過分析y=2t 和 y=2^t的圖象與性質，得到結論．
解答：解：P=在x∈（2，3）上單調遞減，＜P＜；
Q=log₂x在x∈（2，3）上單調遞增Q＞1；
R=在x∈（2，3）上單調遞增，R＞，顯然需要比較的是Q，R的大小關系．
令x=2^2t，這是一個單調遞增函數，顯然在x∈（2，3）上x與t 一一對應，
則1＜Q=log₂x=2t，R=2^t＜，
∴＜t＜log₂3＜•log₂4=1，在坐標系中做出 y=2t 和 y=2^t的圖象，兩曲線分別相交在 t=1 和 t=2 處，
可見，在 t＜1 范圍內 y=2t 小于 y=2^t，
在 1＜t＜2 范圍內 y=2t 大于 y=2^t，
在 t＞2 范圍內 y=2t 小于 y=2^t，
∵＜t＜1，∴2t＜2^t，即 R＞Q；
∴當2＜x＜3時，R＞Q＞P．
故選D．
點評：本題考查對數值大小的比較，難點在于Q，R的大小比較，考查構造函數，通過指數函數與一次函數的圖象與性質分析解決問題，考查學生綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．