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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

 

【答案】

(1) +=1 (2) k=±1

【解析】

解:(1)由題設知,橢圓焦點在x軸上,

∴a=2.

由e==得c=,

∴b2=a2-c2=2.

∴橢圓C的方程為+=1.

(2)由消去y,

整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2).

則Δ=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)>0(※)

且x1+x2=,x1·x2=,

∴|MN|=

=

=

=

=

設點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,

則d=.

∴S△AMN=|MN|·d==,

解得k=±1,

代入(※)式成立,∴k=±1.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和雙曲線C 2：
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對于任意的正實數λ1，曲線C1都有相同的焦點；
②對于任意的正實數λ1，曲線C1都有相同的離心率；
③對于任意的非零實數λ2，曲線C2都有相同的漸近線；
④對于任意的非零實數λ2，曲線C2都有相同的離心率．
其中正確的為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（07年陜西卷） (14分)

已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C:=1()的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與橢圓交于、兩點，坐標原點到直線的距離為，求△面積的最大值.

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科目：高中數學 來源：山東省濟南市2010屆高三第二次模擬考試數學文 題型：選擇題

（本小題滿分12分）

       已知橢圓C: +=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓經過點N（2，-3）．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求橢圓以M（-1，2）為中點的弦所在直線的方程．

 

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