Question

17．已知等差數列{a_n}，如果a₄=4，a₃+a₇=10．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，數列{a_n}的前n的和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a₃+a₇=2a₅，則a₅=5，則則d=a₅-a₄=1，由等差數列性質a_n=a₅+（n-5）d=n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項法”即可求得數列{a_n}的前n的和S_n．

解答 解：（1）由等差數列{a_n}，公差為d，
由a₃+a₇=2a₅，
∴2a₅=10，則a₅=5，
則d=a₅-a₄=5-4=1，
由等差數列的性質：a_n=a₅+（n-5）d=5+n-5=n，
數列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數列{a_n}的前n的和S_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
數列{a_n}的前n的和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等數列通項公式及等差數列的性質，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．